解三角形“最值与范围”通关秘籍：从边角互化到不等式应用，透析多种定理的隐密用法

解三角形中的最值与范围问题常见类型及解题策略主要分为以下几类：

第一类是边的最值与范围问题。这类问题通常基于三角形的三边关系、正余弦定理等知识。

解题时，可利用余弦定理将边与角的关系建立联系，结合已知条件，通过不等式性质或函数思想求解。若题目条件涉及两边之和或两边之差，常需利用三边关系确定范围；若已知一角及该角的对边，可借助余弦定理结合基本不等式求边的最值。

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第二类是角的最值与范围问题。一般通过正弦定理将边化为角，再利用三角函数的性质求解。当已知三边关系时，可利用余弦定理先求角的余弦值，再根据余弦函数单调性确定角的范围；若条件给出边的比值关系，常通过正弦定理转化为角的正弦值关系，结合三角函数的有界性与单调性来求解角的最值。

第三类是面积的最值与范围问题。三角形面积公式是解题关键，常用的面积公式有多种形式，需根据已知条件灵活选择。若已知两边及其夹角，可直接利用面积公式，结合三角函数的性质求最值；若已知三边或两边关系，可先通过余弦定理求出角的相关信息，再代入面积公式，利用函数思想或基本不等式确定面积范围。

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第四类是三角函数式的最值与范围问题。这类问题需先通过正弦定理、余弦定理将边化为角，统一三角函数的形式，再结合三角函数的和差公式、辅助角公式进行化简，最后根据三角函数的定义域与值域，求出表达式的最值与范围。

无论哪种类型，解三角形的最值与范围问题都需要灵活运用正余弦定理实现边角转化，结合函数思想、不等式性质以及三角函数的性质求解，同时要注意三角形自身条件（如内角和、三边关系）对取值范围的限制。