二次函数背景下三角形、四边形周长最值怎么求？-好学堂文库

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在二次函数背景下解决三角形、四边形的周长最值问题，核心是把 “代数条件” 和 “几何模型” 结合起来 —— 前者用二次函数的性质确定图形顶点坐标、边的位置关系，后者靠 “将军饮马” 等经典模型转化周长中的动线段，最终通过分析图形特征找到最值。

下面从三角形、四边形两类图形分别梳理基本方法，全程围绕 “转化动线段、利用函数特性” 展开思路。

先看三角形的周长最值问题。求周长最值的关键，是先区分周长中 “定长线段” 和 “动线段”：

三角形的三条边里，若有一条或两条边的长度是固定的（比如两个端点都在二次函数图像上且位置不变，或一端在函数图像、一端是平面内定点），那么周长的最值就完全由 “动线段的长度和 / 差” 决定 —— 比如周长 = 定长 + 动线段 1 + 动线段 2，此时求周长最值，本质就是求 “动线段 1 + 动线段 2” 的最值；若周长里只有一条动线段，就直接分析这条动线段的最值。

处理动线段时，核心工具是 “将军饮马” 模型。比如三角形有两个顶点是定点（设为 A、B），第三个顶点 P 在二次函数图像上运动，求△PAB 的周长最小值。

首先观察三边：AB 是两个定点间的线段，长度固定，所以周长最小值取决于 PA+PB 的最小值。

这时候就用 “将军饮马” 的核心思路 —— 找其中一个定点关于 “动点所在直线（这里就是二次函数的对称轴，因为二次函数图像是轴对称图形，对称轴是天然的‘对称轴’）” 的对称点（比如找 A 关于对称轴的对称点 A’），然后连接 A’ 和另一个定点 B，这条线段 A’B 与二次函数图像的交点，就是能让 PA+PB 最小的动点 P。

因为 PA=PA’（对称点到动点的距离相等），所以 PA+PB=PA’+PB，而两点之间线段最短，A’B 的长度就是 PA+PB 的最小值，再加上 AB 的定长，就是周长的最小值。

如果是求三角形周长的最大值，思路会略有不同。通常这类问题中，三角形的一条边是定长，另外两条动线段的 “和” 会随动点位置变化而变化，且动点的运动范围会受二次函数图像的限制（比如在抛物线的某一段上运动）。

这时候要先确定动点的运动边界 —— 比如抛物线与 x 轴的交点、顶点等关键坐标，再分析动线段的变化规律：

因为二次函数图像是曲线，动点从一个边界移动到另一个边界时，两条动线段的和可能先增大后减小，或一直增大 / 减小，此时需要结合 “两点之间线段最长” 的性质，比如当动点运动到某两个定点的延长线与抛物线的交点时，两条动线段的和达到最大，进而求出周长的最大值。

再看四边形的周长最值问题。

四边形的周长是四条边的和，比三角形更复杂，所以第一步还是 “拆分定长与动线段”：

先看四条边中，哪些边的端点是定点（长度固定），哪些边的端点有动点（长度变化）。比如四边形 ABCD 中，A、B 是定点，C、D 分别在二次函数的两条边上（或同一条边上）运动，那么 AB 是定长，需要分析 BC、CD、DA 这三条动线段的和；

若 A、C 是定点，B、D 在抛物线上运动，就是 AB、BD、DC 三条边的和，核心是把 “多条动线段的和” 通过对称转化为 “一条线段的长度”。

处理四边形动线段时，依然依赖 “将军饮马” 的延伸思路 —— 多次对称转化。

比如四边形 ABCD 中，A、B 是定点，C 在抛物线 L1 上运动，D 在抛物线 L2 上运动，求四边形 ABCD 的周长最小值。

首先 AB 是定长，周长 = AB+BC+CD+DA，所以只需最小化 BC+CD+DA。这时候可以分两步对称：

先找 A 关于 L2 的对称点 A’（因为 D 在 L2 上，DA=DA’），再找 B 关于 L1 的对称点 B’（因为 C 在 L1 上，BC=B’C），然后连接 A’ 和 B’，这条线段 A’B’ 与 L1 的交点就是 C，与 L2 的交点就是 D，此时 BC+CD+DA=B’C+CD+DA’=A’B’，是最小值，再加上 AB 的定长就是周长最小值。

如果是求四边形的周长最大值，关键是抓住 “四边形的周长上限由动点的运动范围决定”。

因为二次函数图像是有边界的（比如开口向下的抛物线，顶点是最高点，两端向下延伸；开口向上的抛物线则相反），动点不能无限运动，所以四条边中，动线段的长度会有最大值。

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