一次函数背景下的平行四边形、矩形、菱形存在性问题-好学堂文库

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在初中数学学习中，一次函数与特殊四边形存在性结合的问题，是函数与几何综合的重点基础题型。

这类问题的核心，是将一次函数的性质与平行四边形、矩形、菱形的定义和判定条件相融合，通过 “几何特征转化” 与 “函数关系建立” 两个关键步骤，找到符合条件的点的位置。下面针对这三种特殊四边形，分别梳理通用解题方法。

一、平行四边形存在性问题

解决平行四边形存在性问题，首要思路是紧扣 “平行四边形对边平行且相等” 或 “对角线互相平分” 这两个核心性质，将几何条件转化为一次函数中的坐标关系。

第一步，明确已知条件与待求目标。先确定题目中已给出的点（通常是 2 – 3 个固定点），明确需要寻找的是第 4 个点的坐标，且这四个点能构成平行四边形。

此时需注意，由于平行四边形的顶点顺序不明确，要分情况讨论 —— 即已有的线段可能是平行四边形的边，也可能是对角线，避免遗漏情况。

第二步，利用平行四边形性质转化条件。

若以已有线段为边，根据 “对边平行且相等”，可通过一次函数中 “平行直线斜率相等” 的特点，先确定对边所在直线的解析式；再结合 “线段长度相等”，转化为两点间距离关系，进而求出未知点坐标。

若以已有线段为对角线，根据 “对角线互相平分”，则对角线的中点是同一个点，利用中点坐标的计算方法，结合已知点坐标，即可推导出未知点的坐标。

第三步，验证结果合理性。求出未知点坐标后，需代入一次函数的相关条件（如点是否在指定直线上），同时检查四个点是否能构成真正的平行四边形（避免三点共线等不符合条件的情况）。

二、矩形存在性问题

矩形是 “有一个角是直角的平行四边形”，因此解题时需在平行四边形解题思路的基础上，增加 “直角” 的判定条件；也可利用矩形 “对角线相等” 的特殊性质，直接构建解题思路。

第一种思路：先定平行四边形，再找直角。

先按照平行四边形存在性的解题方法，找出所有可能构成平行四边形的点；再根据 “直角” 的几何特征 —— 两条垂直直线的斜率乘积为 – 1（需注意特殊情况，如直线垂直于 x 轴或 y 轴时，斜率不存在的情况），判断这些平行四边形中是否存在有一个角为直角的图形，进而确定矩形对应的点。

第二种思路：直接利用 “对角线相等的平行四边形是矩形”。

先确定可能作为对角线的线段，计算出不同情况下对角线的中点；再根据 “对角线相等”，结合两点间距离公式，建立等式，求解未知点坐标；最后验证得到的四边形是否为平行四边形（避免仅满足对角线相等但不是平行四边形的图形）。

无论哪种思路，最终都需验证得到的点是否满足一次函数的约束条件（如点在直线上），同时确保四边形的四个顶点不共线，符合矩形的定义。

三、菱形存在性问题

菱形是 “一组邻边相等的平行四边形”，或 “对角线互相垂直的平行四边形”，解题时可围绕这两个核心判定条件展开，与矩形解题思路形成 “对应” 但又有差异的逻辑。

第一种思路：先构平行四边形，再找邻边相等。

先通过平行四边形的解题方法，确定所有可能的平行四边形；再根据 “邻边相等”，计算平行四边形中相邻两边的长度，建立长度相等的等式，求解未知点坐标。这里需注意 “邻边” 的定义 —— 要明确哪两条边是相邻的，避免因顶点顺序混淆导致计算错误。

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第二种思路：利用 “对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。

先确定可能的对角线，找到对角线的中点（平行四边形对角线互相平分，中点需重合）；再根据 “对角线互相垂直”，结合两条直线垂直的斜率关系（斜率乘积为 – 1，或一条斜率为 0、另一条斜率不存在），建立条件等式，求出未知点坐标；最后验证该四边形是否为平行四边形，确保满足 “一组邻边相等” 或 “对边平行” 的基础条件。

此外，菱形还有 “四条边都相等” 的性质，在部分题目中，也可直接利用这一性质，通过计算四条边的长度，建立多组相等关系，辅助验证结果的正确性。

四、三种问题的共性解题步骤与注意事项

各章节考点梳理：