学霸都被难哭了！著名几何极值问题：“费马点”模型的应用，直接带你搞定！

带你实战！“费马点”模型的应用

关于费马点，相信有部分同学还是知道的。它是由十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题。

那到底这个模型是什么呢？我们先来看看费马提出的问题及结论：

问题：在一个三角形ABC中，试求点P，使它到A,B,C三点的距离之和最小。即求PA+PB+PC最小。

结论1：当三角形所有角都小于120°时，三角形的最大角∠A<120°时，若满足∠APB= ∠ BPC= ∠ CPA=120°，则它到A,B,C,三点的距离和最小。

（1）费马点对边的张角为120° ，即∠APB= ∠ BPC= ∠ CPA=120°。

（2）PA+PB+PC最短 且 距离之和：PA+PB+PC=A’C（A’C为以AB为底边向外做等边三角形，A’为等边三角形中的顶点）

结论2：略

它用到的证明方法是：利用了旋转变换的思想，三条线段 PA, PB, PC加起来，就是将这三条线段进行拼接，成为一条折线，再利用“两点之间，线段最短”的线段公理，化折为直，就能很快地确定 PA + PB + PC 的最小值。

本质上还是要想到：化折为直。

初中阶段对费马点理解到此即可，接下来是实战，这篇笔记积累了大量的实例，帮助大家巩固上述知识，读者千万别错过，仔细阅读上方笔记对你破解这类难题大有帮助！

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