中考在即，今天咱们聚焦压轴题里 “圆与相似结合” 的关键考点。
这类题目常考一些和相似相关的圆幂定理，虽然定理种类多、容易混淆，但记牢了就是破解压轴题的 “金钥匙”。现在老师帮大家把这些定理的核心要点捋清楚，抓住本质就不怕考！
一、先明确：圆幂定理为啥和相似紧密相关？
圆里的很多线段关系，本质上是通过相似三角形来推导的。比如，当两条弦在圆内相交，或者切线与割线从圆外一点引出时，形成的角会因为圆周角定理、弦切角定理等具有相等关系，进而构造出相似三角形。所以，圆幂定理的推导过程，就是找相似、用相似的过程，而定理的结论又能直接用于解决线段比例、长度计算等问题，这在压轴题里特别关键。
二、必须牢记的三大圆幂定理：核心内容与区分技巧
1. 相交弦定理：圆内两弦相交，乘积相等
条件：圆内两条弦 AB 和 CD 相交于点 P。
结论：PA·PB = PC·PD。
推导本质：连接 AC 和 BD，可证△PAC∽△PDB（对顶角相等 + 圆周角相等），由相似比得到乘积相等。
记忆要点：交点分两弦的线段长度 “交叉相乘” 相等，就像弦在交点处 “交换乘积”。
2. 割线定理：圆外一点引两割线，整体与部分乘积相等
条件：从圆外一点 P 引两条割线，分别交圆于 A、B 和 C、D（PA＜PB，PC＜PD）。
结论：PA·PB = PC·PD。
推导本质：连接 AD 和 BC，证△PAD∽△PCB（公共角 + 圆周角相等），由相似得到比例式，转化为乘积式。
记忆要点：每一条割线都是 “从 P 点到圆的两段”，即 “全段 × 外段” 相等，别搞反内外段顺序。
3. 切割线定理：切线与割线并存，切线长是桥梁
条件：从圆外一点 P 引一条切线 PT（T 为切点）和一条割线 PAB（PA＜PB）。
结论：PT² = PA·PB。
推导本质：连接 TA 和 TB，证△PTA∽△PBT（弦切角等于圆周角 + 公共角），由相似得 PT/PA = PB/PT，即 PT²=PA・PB。
记忆要点：切线长的平方等于割线 “全段 × 外段”，切线长是 “平方项”，和割线的乘积对应。
三、易混淆点突破：三大定理的共性与个性
1. 共性：都体现 “圆外一点与圆的线段乘积关系”
不管是相交弦（点在圆内）还是割线、切线（点在圆外），定理的结论都是 “线段长度的乘积等式”，本质是圆的 “幂” 的概念（点 P 到圆的幂等于 PA・PB，切线时幂等于切线长平方）。
核心逻辑：找相等的角→构造相似三角形→利用相似比得到乘积式。
2. 个性：根据点的位置区分定理形式
点在圆内：相交弦定理，两段弦各自被交点分成的两部分乘积相等；
点在圆外：割线定理（两割线）和切割线定理（一切线一割线），都是 “从点出发的线段 × 外段” 相等，切线时外段和全段重合为切线长。
四、压轴题中怎么用？关键步骤与思维链
第一步：定位定理适用场景
看到圆内弦相交，优先想相交弦定理；
看到圆外一点引出多条线（割线或切线），想割线定理或切割线定理。
第二步：找相似的关键角
圆周角相等：同弧或等弧所对的圆周角相等；
弦切角相等：切线与弦的夹角等于所夹弧的圆周角；
对顶角或公共角：相交弦的对顶角、割线的公共角。
第三步：避免计算陷阱
割线定理中，“外段” 是指从圆外点到最近交点的线段（如 PA 是外段，PB 是全段），别把 PA 和 AB 搞混；
切割线定理中，切线长是从点到切点的距离，必须确认切点位置。
五、考前冲刺：3 个高效记忆法 + 1 个实战策略
记忆法：
图形联想记忆：在草稿纸上画三种图 —— 圆内相交弦、圆外两割线、圆外一切线一割线，分别标注线段名称，直观对应乘积式；
口诀记忆：
相交弦：“内交两弦积相等”；
割线：“外引两割全乘外”；
切割线：“切线平方等割乘”。
推导强化记忆：每天花 5 分钟自己推导一次定理（不用写表达式，想相似逻辑），比死记硬背更牢。
实战策略：
遇到圆与相似的压轴题，先圈出已知线段长度，判断点的位置（圆内 / 外），再对应定理列等式。如果题目没直接给圆，而是隐含圆的条件（如四点共圆），要先通过角相等证明共圆，再用定理。
同学们，圆幂定理是压轴题里 “以静制动” 的利器，看似复杂，实则每一步都紧扣相似的本质。最后几天把这三个定理的图形、结论和推导逻辑吃透，考场上遇到相关题目就能快速拆解。记住：定理是工具，找相似是核心，稳住思路就能拿分！加油，你们一定行！
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