笔记中记载的模型很多，由于篇幅原因，不可能在一篇文章中把所有的模型都讲清楚，今天我们就正方形中出现45°的这个模型，好好地说道说道！
在初中几何学习中，正方形里出现 45° 角的题目是常见类型，这类题目既考查对正方形性质的掌握，也考验辅助线添加和图形转化的能力。
想要顺利解决这类问题，关键在于形成清晰的解题思路，遵循有序的解题步骤，同时避开容易出错的地方，下面就从这三个方面为同学们详细梳理。
一、解题思路：抓住核心，搭建转化桥梁
解决正方形中含 45° 角的问题，核心思路是 “利用正方形性质，通过辅助线将 45° 角相关的分散条件集中，转化为可利用的全等或等腰三角形关系”。
首先要明确正方形的特性，比如四条边相等、四个角都是直角、对角线平分对角且垂直相等，这些性质是解题的基础。
当题目中出现 45° 角时，要思考这个角与正方形的角（90°）、对角线形成的角（45°）之间的联系，比如 45° 角是否在正方形的顶点处，是否与正方形的边或对角线相交。
接下来要搭建条件转化的桥梁，最常用的方法是 “旋转” 和 “截长补短”。
旋转的思路是利用正方形边相等、角为 90° 的特点，将正方形的一个三角形绕某个顶点旋转 90°，使分散的线段或角集中到一起，形成新的等腰三角形或全等三角形；
截长补短则是通过在正方形的边上截取一段等于某条已知线段，或延长某条线段使它等于另一条线段，构造出与 45° 角相关的全等三角形，从而将未知线段或角的关系转化为已知关系。
二、解题步骤：有序推进，逐步突破
第一步：分析图形结构，标记已知条件
拿到题目后，先认真观察图形，确定正方形的顶点、边、对角线的位置，然后用铅笔在图上标记出已知的线段长度、角的度数（尤其是 45° 角和正方形的直角），以及需要求的量。
这一步能帮助我们快速理清图形中的基本关系，避免因遗漏条件导致解题方向错误。
第二步：尝试添加辅助线，构造全等或等腰三角形
根据第一步分析的图形结构，结合正方形和 45° 角的性质，尝试添加辅助线。
如果 45° 角的顶点在正方形的一个顶点上，通常可以考虑以这个顶点为旋转中心，将正方形的一个直角三角形旋转 90°，使旋转后的三角形与原图形中的另一个三角形拼接，形成一个等腰直角三角形（因为旋转后 45° 角会与另一个角组合成 90° 或 45°，结合正方形的边相等，可得到等腰关系）；
如果 45° 角的顶点在正方形的边上或内部，常采用截长补短的方法，在正方形的两条邻边上分别截取与已知线段相等的线段，再连接截点，构造出全等三角形（此时 45° 角会作为全等三角形的一个对应角，结合正方形的边相等，可证明三角形全等）。
添加辅助线后，要及时在图上标记出辅助线形成的新线段和新角，观察这些新图形与已知条件的联系，判断是否能通过全等三角形的判定定理（如 SAS、ASA、SSS、HL）或等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）建立未知量与已知量的关系。
第三步：利用性质推导关系，计算或证明目标量
在构造出全等或等腰三角形后，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，或等腰三角形的边、角关系，推导出题目中需要求的线段长度、角的度数，或证明线段相等、角相等的结论。
这一步要注意逻辑的严谨性，每一步推导都要基于已学的几何定理，不能凭主观猜测。
比如由全等三角形得出对应边相等后，要结合正方形的边长相等，进一步整理出所求线段与已知边长的关系；由等腰三角形得出底角相等后，要结合正方形的直角，计算出目标角的度数。
第四步：验证结果，检查逻辑完整性
得出结果后，不要急于结束，要回到题目和图形中进行验证。
先检查辅助线的添加是否合理，是否符合几何图形的基本性质；再检查推导过程中每一步的逻辑是否通顺，定理应用是否正确，比如全等三角形的判定条件是否满足，等腰三角形的性质是否用对；最后看结果是否符合图形的实际情况，比如线段长度是否为正数，角的度数是否在合理范围内（如正方形内部的角不会超过 90°）。
如果发现结果与图形或已知条件矛盾，要及时回头检查解题步骤，找出错误所在。
三、易错点提醒：避开陷阱，确保解题准确
易错点一：辅助线添加盲目，缺乏针对性
很多同学在遇到这类题目时，会随意添加辅助线，比如看到 45° 角就盲目旋转，或随便截取线段，导致构造的图形与已知条件无关，反而增加解题难度。
其实辅助线的添加要围绕 “集中条件” 和 “转化关系” 的目标，比如旋转时要明确旋转中心、旋转方向和旋转角度（通常是 90°，因为正方形的角是 90°），截长补短时要确定在哪条边上截取、截取多长（通常截取与已知线段相等的长度，以构造全等），避免无目的的尝试。
易错点二：忽略正方形的隐含性质，漏用条件
正方形除了四条边相等、四个角是直角这些明显性质外，还有对角线平分对角（对角线与边的夹角是 45°）、对角线垂直且相等、对边平行等隐含性质。
在解题时，很多同学容易忽略这些隐含性质，比如当 45° 角与正方形的对角线相关时，没有利用对角线平分对角得到的 45° 角，导致无法建立角的关系；或者忽略正方形对边平行的性质，没能利用平行线的内错角、同位角相等来推导角的关系，从而错过解题关键。
易错点三：全等或等腰三角形判定不严谨，逻辑断层
在证明全等三角形时，有些同学会只满足部分条件就判定全等，比如只找到两条边相等，没有找到夹角相等或第三条边相等，就得出全等结论；
或者在等腰三角形中，仅凭两条边看起来相等就认定是等腰三角形，没有通过角相等或定理证明。
这种不严谨的判定会导致后续推导全部错误，因此必须严格按照全等三角形和等腰三角形的判定定理进行证明，确保每一个条件都明确、充分。
易错点四：结果验证不及时，忽略特殊情况
有些题目中 45° 角的位置可能有多种情况，比如 45° 角的顶点在正方形的上边或下边，此时辅助线的添加和推导过程会略有不同，但很多同学会只考虑一种情况，导致漏解；
还有些同学在计算出结果后，没有验证结果是否符合正方形的边长限制，比如求出的线段长度超过正方形的边长，显然是错误的，但没有及时发现。
因此解题时要考虑是否存在多种情况，结果得出后务必结合图形实际进行验证。
总之，解决正方形中含 45° 角的问题，关键在于熟练掌握正方形的性质，形成 “分析条件 — 添加辅助线 — 构造图形 — 推导关系 — 验证结果” 的解题思路，同时注意避开辅助线添加盲目、条件漏用、逻辑不严谨、忽略特殊情况等易错点。
平时多进行针对性练习，总结不同题型的辅助线添加规律，就能逐步提高这类题目的解题能力。
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