二次函数这章内容中，系数和它的图像之间有着紧密且固定的联系，这部分内容是学好整个二次函数章节的根基，大家必须牢牢掌握，因为后续解决各类二次函数大题时，都得依靠这些知识来分析图像、推导结论。
首先来看决定图像开口方向和开口大小的系数。
在二次函数中，有一个系数起着 “领头” 作用，它直接决定了图像抛物线是向上开口还是向下开口。
当这个系数的值为正时，抛物线的开口方向向上，此时图像有一个最低点，这个最低点也是整个函数的最小值点；当这个系数的值为负时，抛物线的开口方向向下，图像就有一个最高点，这个最高点同时也是函数的最大值点。
除了开口方向，这个 “领头” 系数还影响着抛物线开口的大小。
系数的绝对值越大，抛物线的开口就越窄，图像看起来越 “瘦高”；系数的绝对值越小，抛物线的开口就越宽，图像看起来越 “矮胖”。
大家可以这样理解，绝对值大意味着这个系数对函数值的影响更强烈，所以图像变化得更剧烈，开口自然就窄了；反之，绝对值小，影响没那么强烈，图像变化平缓，开口就宽了。
接着看与抛物线对称轴相关的系数。
二次函数中有两个系数共同决定了对称轴的位置，对称轴是一条垂直于横轴的直线，它把抛物线分成完全对称的两部分。
这两个系数通过特定的组合方式，就能确定对称轴在平面直角坐标系中的位置。
当这两个系数的组合结果为正时，对称轴在纵轴的左侧；当组合结果为负时，对称轴在纵轴的右侧；当组合结果为零时，对称轴就与纵轴重合，也就是我们常说的 y 轴。
这里需要注意的是，对称轴的位置会直接影响函数在不同区间的增减性，后续分析函数性质时，对称轴是重要的参考依据。
然后是与抛物线和纵轴交点相关的系数。
这个系数很特殊，它单独决定了抛物线与纵轴交点的位置。不管其他系数如何变化，只要这个系数确定了，抛物线与纵轴交点的纵坐标就确定了。
当这个系数的值为正时，抛物线与纵轴的交点在纵轴的正半轴上；当这个系数的值为负时，交点在纵轴的负半轴上；当这个系数的值为零时，抛物线就会经过原点，此时交点就是原点。
这个交点是抛物线的一个重要特殊点，在绘制函数图像或者分析函数与坐标轴的关系时，经常会用到。
最后还要关注与抛物线和横轴交点数量相关的系数组合。
有三个系数会共同参与到这个判断中，它们通过特定的运算组合形成一个新的量，这个量的正负情况直接决定了抛物线与横轴交点的数量。
当这个组合量的值为正时，抛物线与横轴有两个不同的交点；当组合量的值为零时，抛物线与横轴只有一个交点，这个交点也是抛物线的顶点，此时抛物线与横轴相切；当组合量的值为负时，抛物线与横轴没有交点。
判断抛物线与横轴的交点数量，在解决二次函数与一元二次方程的关联问题、以及确定函数值正负区间的问题中，都有着不可替代的作用。
总之，二次函数的系数各自有着明确的 “职责”，又相互配合影响着图像的整体形态和位置。
大家在学习过程中，要多观察、多总结，把每个系数与图像特征的对应关系记准记牢，做到看到系数就能联想到图像的大致样子，看到图像也能反推出系数的相关性质，这样才能为后续解决更复杂的二次函数问题打下坚实的基础。
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